Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre, oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte.

Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zu dem Baden in eine bis zu dem Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, exakt seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief Heureka (Ich habe es gefunden).

Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen vollen Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren, musste sie aus einem leichteren Material, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein.

Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert.

Weblinks

• Nachbau des historischen Experimentes mit einfachen Mitteln (http://www.mister-mueller.de/physik/Ph_unterricht/Ph_Experimente/Mechanik/Experiment_des_Archimedes.html)

Wirkt auf eine Fläche (mit Flächeninhalt und Normalenvektor ) von einer Seite ein konstanter Druck p_A, so ist der nach unten (bzw. nach oben, bei negativem Vorzeichen) wirkende Kraftanteil

wobei ein nach unten zeigender Einheitsvektor ist.

Das archimedische Prinzip gilt nun exakt dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist. Für Flüssigkeiten wie z.B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll in dem Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der in eine Flüssigkeit der Dichte ρ eintaucht.

In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe A in der Tiefe z das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Masse . Der Druck in dieser Tiefe ist darum

Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen z auch in der Luft oder anderen Gasen (d.h. die Kompressibilität fällt nicht in das Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden). Darum gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder Ballone.

Für einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des Archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnen. Für einen Quader mit Grundfläche A und Höhe h, der senkrecht in die Flüssigkeit eintaucht, erhält man beispielsweise:

• Kraft auf die obere Grundfläche:

• Kraft auf die untere Grundfläche:

• Kräfte auf die Seitenflächen wirken nicht nach oben oder unten
• Die gesamte Auftriebskraft ist also

.

Dabei ist V das verdrängte Volumen, also die verdrängte Masse und ihre Gewichtskraft. Das Archimedische Prinzip ist also erfüllt. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Auftriebskraft der Gewichtskraft entgegengesetzt ist.

Für einen beliebig geformten Körper erhält man die gesamte Auftriebskraft durch das Oberflächenintegral

Das Archimedische Prinzip folgt dann sofort aus dem Gaußschen Integralsatz: